Долго,зато я надейсь наглядно
Приступим!
Эта модель призвана разъяснить уважаемым сомневающимся господам, где в горнолыжном повороте находиться подкачка и где параметрический резонанс.
Для простоты картины трение в модели равно нулю, вся картинка лежит в плоскости и силы тяжести нет.
Модель представляет из себя жестко закрепленную проволоку, предсталяющую из себя половинки окружностей и сопрягающих их прямых участков (для наглядности они выделены красным цветом на картинке)
По системе движется некое устройство представляющее их себя кольцо или муфту (выделено жетым цветом на картинке) которое едет по проволоке, и грузик массой m который может двигаться по штанге перпендикулярной проволоке. На штанге расположен некий механизм который позволяет перемещать груз по штанге.
Начальная скорость в положении I равна V1(далее жирный шрифт означает вектор, а на кртинке вектора обозначены как и обычно).
Итак. Колебаниями, в которых будет наблюдаться резонанс являются колебания проекции вектора скорости кольца двигающегося по проволоке (желтой точки на картинке) на ось Х. В начальный момент величина этой проекции равна v1.
Итак рассмотрим варианты движения.
1. Грузик все время находиться на нулевом расстоянии от проволоки. В это случае скорость грузика постоянна и равна начальной. Проекция на ось Х это скорости будет совершать периодические колебания. График будет состоять из отрезков синусоид соединенных сопрягающими их прямыми соответствующими прямым участкам проволоки (+v1 и -v1) . Все просто и понятно. Никакой накачки никакого увеличения амплитуды (резонанса) (график 1 на картинке)
2. Теперь запустим наш механизм на штанге. Действовать он будет следующим образом. В момент 1 он начинает действовать просив силы инерции (совершая работу) и отодвигать грузик от проволоки в сторону центра вращения. В результате этого момент инерции грузика относительно центра первой полуокружности будет уменьшаться. Следовательно по закону сохранения момента импульса (далее ЗСМИ) угловая скорость, а следовательно и поступательная скорость движения желтой точки будет расти.
В результате в конце первой полуокружности принимая во внимание что момент импулься системы J(t) = wm(R-l(t))^2 , где l(t) - расстояние грузика от проволоки. w - угловая скорость. И что этот момент импульса должен сохраняется получаем что, если за пол окружности наш грузик отъедет от проволоки на расстояние L внутрь окружности то скорость в точке III (v3) будет равна
v3= v1 (R/(R-L))^2 .
Теперь самое интересное. На прямом участке наш механизм возвращает грузик назад .
Скорость желтой точки при этом не меняется, ибо движение прямолинейное. Перемещение груза происходит в направлении перпендикулярном оси Х, и не может повлиять на горизонтальную проекцию скорости.
Далее с момента IV до момента V производим тоже самое, двигаем грузик. Сначала простив сил инерции внутрь окружности, потом на прямом участке обратно.
В результате v5= v1 (R/(R-L))^4 .
Если мы обратимся к графику проекции скорости, то он будет выглядеть неким образом подобным графику 2.
На это картинке нарисовано два случая (зеленый и синий) соответствующие разным значением L. Чем больше L (и следовательно работа совершенная механизмом) тем сильнее разгонится грузик за период.
Я надеюсь очевидно что зеленый 'лыжник' приедет к финишу (точка 5) быстрее чем синий . Ибо в любой момент времени скорость желтой точки для зеленого 'лыжника' будет больше чем она же для синего . И при равном пути (одинаковом следе) выиграет зеленый.
Давайте прикинем числа.
Нач. Скорость 30км/ч радиус 15 м перемещение центра тяжести 15 см
V1=30
V3= 30,6091
V5= 31,2306.
Заметьте на 60 метрах дистанции при двух поворотах мое приемущество 1.23 километр в час.
Причем 15 сантиметров перемещения центра тяжести это отнюдь не много.
Если дальше идет километр прямой трассы, то выигрыш зеленого на этом километре при такой разности в скорости, будет порядка 3.6 секунд.
Я предлагаю публике определиться, имеет ли описанный процесс сходство с лыжником, если предположить что оба лыжника едут по одному следу а один из них в течении поворота распрямляет ноги, и потом в момент траверса приседает обратно, а второй ничего не делает.
Ну и наконец контрольные вопросы!!
1. Как называется процесс увеличения амплитуды колебания ( в данном случае проекции скорости v) который вызывается периодическим синфазным изменением параметра процесса (в данном случае момента импульса)?
Если мне не изменяет память то это и есть параметрический резонанс. А работа совершаемая при перемещении та самая подкачка.
Ну и задание на дом касательно прошлогоднего флейма. Придумать в рамках данной модели процесс который будет уменьшать скорость.
Regards
Миша Чекин.